2次方程式 $x^2 + 2mx + 5m - 4 = 0$ が実数解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 5m - 4 = 0$ が実数解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たすことである。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(5m - 4)$

$D = 4m^2 - 20m + 16$

$D = 4(m^2 - 5m + 4)$

実数解を持つ条件 $D \geq 0$ より、

$4(m^2 - 5m + 4) \geq 0$

$m^2 - 5m + 4 \geq 0$

$(m - 1)(m - 4) \geq 0$

したがって、$m \leq 1$ または $m \geq 4$ である。

3. 最終的な答え

$m \leq 1$ または $m \geq 4$