$x$ の方程式 $(m+1)x^2 + 2(m-1)x + 2m-5 = 0$ がただ1つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $(m+1)x^2 + 2(m-1)x + 2m-5 = 0$ がただ1つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

方程式 $(m+1)x^2 + 2(m-1)x + 2m-5 = 0$ がただ一つの実数解を持つ条件は、以下の2つの場合がある。

(1) $m+1=0$ のとき、つまり $m = -1$ のとき、方程式は一次方程式となり、一つの解を持つ可能性がある。

このとき、方程式は $2(-1-1)x + 2(-1)-5 = 0$、つまり $-4x - 7 = 0$ となり、$x = -\frac{7}{4}$ という一つの解を持つ。

したがって、$m = -1$ は条件を満たす。

(2) $m+1 \neq 0$ のとき、つまり $m \neq -1$ のとき、方程式は二次方程式となる。

この二次方程式がただ一つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることである。

$D/4 = (m-1)^2 - (m+1)(2m-5) = m^2 - 2m + 1 - (2m^2 - 5m + 2m - 5) = m^2 - 2m + 1 - 2m^2 + 3m + 5 = -m^2 + m + 6 = 0$

$m^2 - m - 6 = 0$

$(m-3)(m+2) = 0$

よって、$m = 3$ または $m = -2$。

$m = 3$ のとき、方程式は $4x^2 + 4x + 1 = 0$ となり、$(2x+1)^2=0$、つまり $x = -\frac{1}{2}$ という一つの解を持つ。

$m = -2$ のとき、方程式は $-x^2 - 6x - 9 = 0$ となり、$-(x+3)^2=0$、つまり $x = -3$ という一つの解を持つ。

したがって、$m = 3$ と $m = -2$ はどちらも条件を満たす。

したがって、$m$ の値は $-1$, $3$, $-2$ である。

3. 最終的な答え

$m = -2, -1, 3$