関数 $f(x) = x^2$ について、 (1) $x=2$ における微分係数 (2) $x=-1$ における微分係数 を、微分の定義に従って求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ について、

(1) $x=2$ における微分係数

(2) $x=-1$ における微分係数

を、微分の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。

(1) $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4+h) = 4$

(2) $f(x) = x^2$ の $x=-1$ における微分係数

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-1+h)^2 - (-1)^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{1 - 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2+h) = -2$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -2