与えられた数 $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} $ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ を $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}$ と見て、$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5})((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})}$

分母は $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用して、

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

次に、分母をさらに有理化するために、分子と分母に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{2 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$