点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(1, 3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接点を$(x_1, y_1)$と置きます。この接点は円周上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 5$

が成り立ちます。

次に、点$(x_1, y_1)$における円の接線の方程式は

$x_1 x + y_1 y = 5$

で表されます。

この接線は点A(1, 3)を通るので、

$x_1(1) + y_1(3) = 5$

つまり

$x_1 + 3y_1 = 5$

が成り立ちます。

$x_1 = 5 - 3y_1$とおき、$x_1^2 + y_1^2 = 5$に代入すると、

$(5 - 3y_1)^2 + y_1^2 = 5$

$25 - 30y_1 + 9y_1^2 + y_1^2 = 5$

$10y_1^2 - 30y_1 + 20 = 0$

$y_1^2 - 3y_1 + 2 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 2) = 0$

よって、$y_1 = 1$または$y_1 = 2$です。

(i) $y_1 = 1$のとき、

$x_1 = 5 - 3y_1 = 5 - 3(1) = 2$

接点は(2, 1)となり、接線の方程式は$2x + y = 5$となります。

(ii) $y_1 = 2$のとき、

$x_1 = 5 - 3y_1 = 5 - 3(2) = -1$

接点は(-1, 2)となり、接線の方程式は$-x + 2y = 5$となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式は、$2x + y = 5$と$-x + 2y = 5$です。

接点の座標は、(2, 1)と(-1, 2)です。