円 $x^2+y^2 = 4$ と次の2つの円について、それらの位置関係を調べる問題です。 (1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ (2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

1. 問題の内容

円 $x^2+y^2 = 4$ と次の2つの円について、それらの位置関係を調べる問題です。

(1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$

(2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$

2. 解き方の手順

円 $x^2+y^2 = 4$ は、中心が原点$(0,0)$、半径が$r_1 = \sqrt{4} = 2$ の円です。

(1) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9$ は、中心が $(-3,4)$、半径が $r_2 = \sqrt{9} = 3$ の円です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(-3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$r_1 + r_2 = 2+3 = 5$ なので、 $d = r_1 + r_2$ が成り立ちます。

したがって、2つの円は外接します。

(2) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$ は、中心が $(3,3)$、半径が $r_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ の円です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$r_1 + r_3 = 2 + 2\sqrt{2}$

$r_1 - r_3 = 2 - 2\sqrt{2} < 0$なので絶対値を取ると $|r_1 - r_3| = |2 - 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} - 2$

$r_1 + r_3 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2(1.414) = 2 + 2.828 = 4.828$

$3\sqrt{2} \approx 3(1.414) = 4.242$

$|r_1 - r_3| = 2\sqrt{2} - 2 \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$

したがって、$|r_1 - r_3| < d < r_1 + r_3$ なので、2つの円は交わります。

3. 最終的な答え

(1) 外接する

(2) 交わる