与えられた式 $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x+2)$ と $(x-3)(x+4)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

$(x-3)(x+4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$

次に、得られた式を元の式に代入します。

$(x^2+x-2)(x^2+x-12)+24$

ここで、$x^2+x = A$ と置換します。すると、式は以下のようになります。

$(A-2)(A-12)+24$

これを展開します。

$A^2 - 12A - 2A + 24 + 24 = A^2 - 14A + 48$

この式を因数分解します。

$A^2 - 14A + 48 = (A-6)(A-8)$

ここで、$A = x^2 + x$ を代入します。

$(x^2+x-6)(x^2+x-8)$

$(x^2+x-6)$ を因数分解します。

$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$

よって、最終的な式は

$(x+3)(x-2)(x^2+x-8)$

3. 最終的な答え

$(x+3)(x-2)(x^2+x-8)$