与えられた式 $x^4 + 2x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 2x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると因数分解できなさそうに見えますが、$x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2$ と変形することで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形に持ち込むことができます。

まず、$x^4 + 2x^2 + 9$ を平方完成させることを考えます。$x^4 + 9$に着目すると、$(x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9$となることがわかります。

そこで、$x^4 + 2x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = (x^2 + 3)^2 - (2x)^2$と変形します。

ここで、$A = x^2 + 3$、$B = 2x$ とおくと、

$(x^2 + 3)^2 - (2x)^2 = A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) = (x^2 + 3 + 2x)(x^2 + 3 - 2x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$

よって、$x^4 + 2x^2 + 9 = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$