$a, b$ を実数とする。$a<b, a=b, a>b$ のそれぞれの場合に、極限 $\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とする。$a<b, a=b, a>b$ のそれぞれの場合に、極限 $\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log_x(x^a+x^b) = \frac{\ln(x^a+x^b)}{\ln x}$

それぞれのケースについて考えます。

ケース1: $a < b$ の場合

$x^b$ で括り出します。

$\frac{\ln(x^a+x^b)}{\ln x} = \frac{\ln[x^b(x^{a-b}+1)]}{\ln x} = \frac{\ln(x^b) + \ln(x^{a-b}+1)}{\ln x} = \frac{b \ln x + \ln(x^{a-b}+1)}{\ln x} = b + \frac{\ln(x^{a-b}+1)}{\ln x}$

$x \to \infty$ のとき、$x^{a-b} \to 0$ なので、$\ln(x^{a-b}+1) \to \ln(1) = 0$ となります。また、$\ln x \to \infty$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^{a-b}+1)}{\ln x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = b$

ケース2: $a = b$ の場合

$\log_x(x^a+x^b) = \log_x(x^a+x^a) = \log_x(2x^a) = \frac{\ln(2x^a)}{\ln x} = \frac{\ln 2 + \ln(x^a)}{\ln x} = \frac{\ln 2 + a \ln x}{\ln x} = a + \frac{\ln 2}{\ln x}$

$x \to \infty$ のとき、$\ln x \to \infty$ なので、$\frac{\ln 2}{\ln x} \to 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = a$

ケース3: $a > b$ の場合

$x^a$ で括り出します。

$\frac{\ln(x^a+x^b)}{\ln x} = \frac{\ln[x^a(1+x^{b-a})]}{\ln x} = \frac{\ln(x^a) + \ln(1+x^{b-a})}{\ln x} = \frac{a \ln x + \ln(1+x^{b-a})}{\ln x} = a + \frac{\ln(1+x^{b-a})}{\ln x}$

$x \to \infty$ のとき、$x^{b-a} \to 0$ なので、$\ln(1+x^{b-a}) \to \ln(1) = 0$ となります。また、$\ln x \to \infty$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^{b-a})}{\ln x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = a$

3. 最終的な答え

$a < b$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = b$

$a = b$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = a$

$a > b$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \log_x(x^a+x^b) = a$