$\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} = \frac{\pi}{4}$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} = \frac{\pi}{4}$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

$\arctan{\frac{1}{2}}$と$\arctan{\frac{1}{3}}$の和のタンジェントを求めます。

タンジェントの加法定理を使用します。

$\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

ここで、$a = \arctan{\frac{1}{2}}$、$b = \arctan{\frac{1}{3}}$ とします。

すると、$\tan(a) = \frac{1}{2}$、$\tan(b) = \frac{1}{3}$ となります。

$\tan(a+b) = \tan(\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}}) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

$\tan(a+b) = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

したがって、$\tan(\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}}) = 1$です。

$\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} = \frac{\pi}{4}$