第4項が -40, 第6項が -160 である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

第4項が -40, 第6項が -160 である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする。ここで $a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

問題文より、第4項が -40, 第6項が -160 なので、以下の2つの式が成り立つ。

$a_4 = ar^{4-1} = ar^3 = -40$

$a_6 = ar^{6-1} = ar^5 = -160$

これらの式を用いて、$a$ と $r$ の値を求める。

$ar^5 = -160$ と $ar^3 = -40$ の比を取ると、

$\frac{ar^5}{ar^3} = \frac{-160}{-40}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

r = 2 のとき:

$ar^3 = -40$ より、

$a(2)^3 = -40$

$8a = -40$

$a = -5$

したがって、一般項は $a_n = -5 \cdot 2^{n-1}$

r = -2 のとき:

$ar^3 = -40$ より、

$a(-2)^3 = -40$

$-8a = -40$

$a = 5$

したがって、一般項は $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -5 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$