与えられた式 $4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が正しいことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が正しいことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、arctanの加法定理を利用します。arctanの加法定理は以下の通りです。

$$\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}$$

この定理を繰り返し用いて、 $4\arctan\frac{1}{5}$ を計算します。

まず、$2\arctan\frac{1}{5}$ を計算します。

$$2\arctan\frac{1}{5} = \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{5} = \arctan \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \arctan \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \arctan \frac{5}{12}$$

次に、$4\arctan\frac{1}{5}$ を計算します。

$$4\arctan\frac{1}{5} = 2(2\arctan\frac{1}{5}) = 2\arctan\frac{5}{12} = \arctan\frac{5}{12} + \arctan\frac{5}{12} = \arctan \frac{\frac{5}{12} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{5}{12} \cdot \frac{5}{12}} = \arctan \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \arctan \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \arctan \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \arctan \frac{5 \cdot 24}{119} = \arctan \frac{120}{119}$$

よって、$4\arctan\frac{1}{5} = \arctan \frac{120}{119}$となります。

次に、$4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$ を計算します。

$$\arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{239} = \arctan\frac{120}{119} + \arctan(-\frac{1}{239}) = \arctan \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \cdot (-\frac{1}{239})} = \arctan \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 - \frac{120}{119 \cdot 239}} = \arctan \frac{\frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239}}{\frac{119 \cdot 239 - 120}{119 \cdot 239}} = \arctan \frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239 - 120}$$

$120 \cdot 239 - 119 = 28680 - 119 = 28561$

$119 \cdot 239 - 120 = 28441 - 120 = 28321 = 119 \cdot 239 - 120 = 28441-120 = 28321$.

$120 \times 239 = 28680$

$28680-119 = 28561$

$119 \times 239 = 28441$

$28441 - 120 = 28321$

$\frac{28561}{28321} = 1.0084$

ところで，$28561=169^2$ and $28321=168.2885$

しかし、arctan1 = $\pi/4$ なので、 $\arctan \frac{28561}{28321} = \pi/4$ を示す必要があります。

$\arctan(1) = \pi/4$

$\arctan(x) = \pi/4$ とすると、$x=1$ となる。

$120 \cdot 239 - 119 = 28680 - 119 = 28561$.

$119 \cdot 239 - 120 = 28441 - 120 = 28321$.

正しいarctanの公式:

$arctan(x)-arctan(y) = arctan((x-y)/(1+xy))$

$\arctan(120/119) - \arctan(1/239) = \arctan(((120/119) - (1/239)) / (1 + (120/119)*(1/239)) = \arctan(((120*239-119)/(119*239)) / ((119*239 + 120)/(119*239)))$

$\arctan((120*239-119)/(119*239+120)) = \arctan((28680-119)/(28441+120)) = \arctan(28561/28561) = \arctan(1) = \pi/4$

3. 最終的な答え

$4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$