第4項が-40、第6項が-160である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

第4項が-40、第6項が-160である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ とします。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

問題文より、第4項は-40、第6項は-160なので、以下の2つの式が成り立ちます。

$$a_4 = a r^{4-1} = a r^3 = -40$$

$$a_6 = a r^{6-1} = a r^5 = -160$$

2つの式から$a$と$r$を求めます。

$a r^5 = -160$を$a r^3 = -40$で割ると、

$$\frac{a r^5}{a r^3} = \frac{-160}{-40}$$

$$r^2 = 4$$

$r = \pm 2$

(i) $r=2$の場合、 $a r^3 = a (2)^3 = 8a = -40$ なので $a = -5$。

したがって、一般項は $a_n = -5 \cdot 2^{n-1}$。

(ii) $r=-2$の場合、 $a r^3 = a (-2)^3 = -8a = -40$ なので $a = 5$。

したがって、一般項は $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$。

3. 最終的な答え

一般項は、

$a_n = -5 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$