画像に写っている二つの多項式を因数分解する問題です。 (2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ (4) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に写っている二つの多項式を因数分解する問題です。

(2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$

(4) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

2. 解き方の手順

(2) の多項式を因数定理を用いて因数分解します。

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ とおきます。

$f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 6(2) - 8 = 8 - 12 + 12 - 8 = 0$ なので、$x-2$ は $f(x)$ の因数です。

次に、$f(x)$ を $x-2$ で割ります。

```

x^2 - x + 4

x - 2 | x^3 - 3x^2 + 6x - 8

-(x^3 - 2x^2)

------------

-x^2 + 6x

-(-x^2 + 2x)

------------

4x - 8

-(4x - 8)

------------

0

```

したがって、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$ です。

(4) の多項式は、$(3a-b)^3$ の展開式になっていることに気付きます。

$(3a-b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 - b^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

3. 最終的な答え

(2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$

(4) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3 = (3a-b)^3$