問題1は、曲線 $y = e^{-x}$ 上の点 $(-1, e)$ における接線と法線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、曲線 $y = e^{-x}$ 上の点 $(-1, e)$ における接線と法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y = e^{-x}$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

(2) 点 $(-1, e)$ における接線の傾きを求めます。これは導関数に $x = -1$ を代入することで得られます。

$m = -e^{-(-1)} = -e$

(3) 点 $(-1, e)$ を通り、傾きが $-e$ の直線の方程式（接線）を求めます。点傾き式を使うと、

$y - e = -e(x - (-1))$

$y - e = -e(x + 1)$

$y = -ex - e + e$

$y = -ex$

(4) 点 $(-1, e)$ における法線の傾きを求めます。法線の傾きは接線の傾きの負の逆数であるため、

$m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-e} = \frac{1}{e}$

(5) 点 $(-1, e)$ を通り、傾きが $\frac{1}{e}$ の直線の方程式（法線）を求めます。

$y - e = \frac{1}{e}(x - (-1))$

$y - e = \frac{1}{e}(x + 1)$

$y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = -ex$

法線の方程式: $y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e$