問題３：２つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y = \log x$ が、点 $A(e,1)$ を共有し、かつ点Aで共通な接線をもつように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題３：２つの曲線 $y=ax^2+b$ と $y = \log x$ が、点 $A(e,1)$ を共有し、かつ点Aで共通な接線をもつように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、２つの曲線が点 $A(e,1)$ を共有するという条件から、$a$ と $b$ の関係式を求める。

$y = ax^2 + b$ に $x=e$, $y=1$ を代入すると、

$1 = ae^2 + b$ … (1)

$y = \log x$ に $x=e$, $y=1$ を代入すると、

$1 = \log e = 1$ (これは常に成り立つ)

次に、２つの曲線が点Aで共通の接線を持つという条件から、$a$ の値を求める。

$y = ax^2 + b$ の導関数を求めると、

$y' = 2ax$

$y = \log x$ の導関数を求めると、

$y' = \frac{1}{x}$

点Aで共通の接線を持つということは、点 $A(e,1)$ におけるそれぞれの導関数の値が等しいということである。

$2ae = \frac{1}{e}$

$a = \frac{1}{2e^2}$ … (2)

(2)を(1)に代入すると、

$1 = \frac{1}{2e^2}e^2 + b$

$1 = \frac{1}{2} + b$

$b = \frac{1}{2}$ … (3)

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2e^2}$

$b = \frac{1}{2}$