(1) 放物線 $y^2 = 4px$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $y_1y = 2p(x+x_1)$ であることを示す。 (2) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y^2 = 4px$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $y_1y = 2p(x+x_1)$ であることを示す。

(2) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式が $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y^2 = 4px$ の両辺を $x$ で微分すると、$2y\frac{dy}{dx} = 4p$ となる。よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{2p}{y}$ である。点 $(x_1, y_1)$ における接線の傾きは $\frac{2p}{y_1}$ である。したがって、接線の方程式は、

$y - y_1 = \frac{2p}{y_1}(x - x_1)$

$y_1(y - y_1) = 2p(x - x_1)$

$y_1y - y_1^2 = 2px - 2px_1$

$y_1y = 2px - 2px_1 + y_1^2$

点 $(x_1, y_1)$ は放物線 $y^2 = 4px$ 上にあるので、$y_1^2 = 4px_1$ である。

$y_1y = 2px - 2px_1 + 4px_1$

$y_1y = 2px + 2px_1$

$y_1y = 2p(x + x_1)$

(2) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ で微分すると、$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0$ となる。よって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}$ である。点 $(x_1, y_1)$ における接線の傾きは $-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$ である。したがって、接線の方程式は、

$y - y_1 = -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}(x - x_1)$

$a^2y_1(y - y_1) = -b^2x_1(x - x_1)$

$a^2y_1y - a^2y_1^2 = -b^2x_1x + b^2x_1^2$

$b^2x_1x + a^2y_1y = b^2x_1^2 + a^2y_1^2$

両辺を $a^2b^2$ で割ると、

$\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}$

点 $(x_1, y_1)$ は楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上にあるので、$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ である。

$\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 放物線 $y^2 = 4px$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$y_1y = 2p(x + x_1)$ である。

(2) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ である。