与えられた画像には、複素数平面上の3点 A, B, C が一直線上にあるための条件が記述されています。 具体的には、$\angle BAC = \arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ という関係式と、A, B, C が一直線上にあることと $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数であるという同値関係が示されています。ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はそれぞれ点 A, B, C の複素数表示です。

1. 問題の内容

与えられた画像には、複素数平面上の3点 A, B, C が一直線上にあるための条件が記述されています。

具体的には、$\angle BAC = \arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ という関係式と、A, B, C が一直線上にあることと $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数であるという同値関係が示されています。ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はそれぞれ点 A, B, C の複素数表示です。

2. 解き方の手順

* $\angle BAC = \arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ について: これは、複素数平面上の角を複素数で表現する方法です。$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は、ベクトル AB をベクトル AC に写す回転と拡大を表します。その偏角（argument）が $\angle BAC$ に対応します。

* A, B, C が一直線上にある $\Leftrightarrow$ $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数について: 3点 A, B, C が一直線上にあるとは、$\angle BAC$ が $0$ または $\pi$ であることを意味します。複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の偏角 $\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が $0$ または $\pi$ であるということは、その複素数が実数であることを意味します。なぜなら、実数の偏角は $0$ または $\pi$ だからです。

3. 最終的な答え

A, B, C が一直線上にあるための条件は、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数であることです。