2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \log x$ が点 $A(e, 1)$ を共有し、かつ点Aで共通の接線を持つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題3と問題8について解いていきます。

**問題3**

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \log x$ が点 $A(e, 1)$ を共有し、かつ点Aで共通の接線を持つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点A(e, 1)を共有することから、それぞれの曲線が点Aを通る条件を立てます。

* $y = ax^2 + b$ が点 (e, 1) を通るので、$1 = ae^2 + b$ が成り立ちます。

* $y = \log x$ が点 (e, 1) を通るので、$1 = \log e$ が成り立ちます（これは自明）。

(2) 点Aで共通の接線を持つことから、それぞれの曲線の $x = e$ における微分係数（接線の傾き）が等しいという条件を立てます。

* $y = ax^2 + b$ の導関数は $y' = 2ax$ です。したがって、$x = e$ における微分係数は $2ae$ です。

* $y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$ です。したがって、$x = e$ における微分係数は $\frac{1}{e}$ です。

よって、$2ae = \frac{1}{e}$ が成り立ちます。

(3) (1)と(2)で得られた連立方程式を解いて、$a$ と $b$ の値を求めます。

まず、$2ae = \frac{1}{e}$ から、$a = \frac{1}{2e^2}$ が得られます。

次に、$1 = ae^2 + b$ に $a = \frac{1}{2e^2}$ を代入すると、$1 = \frac{1}{2e^2} \cdot e^2 + b$ となり、$1 = \frac{1}{2} + b$ が得られます。

したがって、$b = \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2e^2}$

$b = \frac{1}{2}$

**問題8**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ について、$y = f(x)$ のグラフの概形を描き、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$ より、$1 - x^2 = 0$ なので、$x = \pm 1$ です。

(3) 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

(4) 極値を計算します。

$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$

$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

(5) グラフの概形を考えます。$f(x)$は奇関数なので原点対称です。$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$　なので、$x$軸が漸近線となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$ (x = 1のとき)

最小値: $-\frac{1}{2}$ (x = -1のとき)