関数 $y=x^2 \log x$ の極値を求めます。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある問題4(1)を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2 \log x$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認:

$\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要があります。したがって、定義域は $x > 0$ です。

(2) 導関数の計算:

積の微分法を用いて、導関数を求めます。

$y' = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

(3) 極値の候補を求める:

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。$x > 0$ より、

$x(2 \log x + 1) = 0$

$2 \log x + 1 = 0$

$\log x = -\frac{1}{2}$

$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

(4) 増減表の作成:

| x | 0 | ... | 1/√e | ... | ∞ |

| -------------------- | ---- | ---------- | ---------- | --------- | ---- |

| y' | | - | 0 | + | |

| y | | ↘ | 極小 | ↗ | |

$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ の前後で $y'$ の符号が変化することを確認します。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$\log x < -\frac{1}{2}$ なので、$2\log x + 1 < 0$ となり、$y' < 0$。

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$\log x > -\frac{1}{2}$ なので、$2\log x + 1 > 0$ となり、$y' > 0$。

(5) 極値の計算:

$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$y = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

関数 $y = x^2 \log x$ は $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値をとり、その値は $-\frac{1}{2e}$ です。極大値はありません。