関数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ について、$y = f(x)$ のグラフの概形を描き、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

わかりました。画像の8番の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ について、$y = f(x)$ のグラフの概形を描き、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域と対称性:

$f(x)$ は全ての $x$ で定義されています。

$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)$ なので、$f(x)$ は奇関数であり、原点に関して対称です。

(2) 導関数の計算:

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

(3) 極値の計算:

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$ より、$1 - x^2 = 0$。

よって、$x = \pm 1$

$f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$ (減少)

- $-1 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ (増加)

- $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$ (減少)

したがって、$x = -1$ で極小、$x = 1$ で極大となります。

極小値: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$

極大値: $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

(4) 2階導関数の計算:

$f''(x) = \frac{-2x(x^2 + 1)^2 - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-2x(x^2 + 1) - 4x(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$

(5) 変曲点の計算:

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3} = 0$ より、$2x(x^2 - 3) = 0$。

よって、$x = 0, \pm \sqrt{3}$

$f''(x)$ の符号を調べます。

- $x < -\sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$ (上に凸)

- $-\sqrt{3} < x < 0$ のとき、$f''(x) > 0$ (下に凸)

- $0 < x < \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$ (上に凸)

- $x > \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) > 0$ (下に凸)

変曲点: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

(6) グラフの概形:

奇関数なので原点に関して対称。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$。

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$。

$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{2}$。

$x = -1$ で極小値 $-\frac{1}{2}$。

変曲点: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

(7) 最大値と最小値:

極大値 $f(1) = \frac{1}{2}$ が最大値。

極小値 $f(-1) = -\frac{1}{2}$ が最小値。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$

グラフの概形については、上記の解析に基づいてグラフを描くことができます。