関数 $y = |x+1|e^x$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = |x+1|e^x$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x+1|$ の絶対値を外すために場合分けをする。

(i) $x > -1$ のとき、 $y = (x+1)e^x$

(ii) $x < -1$ のとき、$y = -(x+1)e^x$

(iii) $x = -1$ のとき、$y=0$

次に、それぞれの範囲で導関数を計算し、極値を求める。

(i) $x > -1$ のとき

$y' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y' = 0$ となるのは $x = -2$ だが、$x > -1$ の範囲には存在しない。

$x > -1$ において $y'$ の符号を調べると、$x > -1$ では常に $y' > 0$。したがって、$x > -1$ に極値は存在しない。

(ii) $x < -1$ のとき

$y' = -e^x - (x+1)e^x = -(x+2)e^x$

$y' = 0$ となるのは $x = -2$ であり、$x < -1$ の範囲に含まれる。

$x < -1$ において $y'$ の符号を調べる。

$x < -2$ のとき、$y' = -(x+2)e^x > 0$

$-2 < x < -1$ のとき、$y' = -(x+2)e^x < 0$

したがって、$x = -2$ で極大値をとる。極大値は $y(-2) = -(-2+1)e^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

(iii) $x = -1$ のとき

$y(-1) = 0$

$x > -1$ のとき、$y = (x+1)e^x > 0$

$x < -1$ のとき、$y = -(x+1)e^x > 0$

したがって、$x = -1$ で極小値 0 をとる。

3. 最終的な答え

$x = -2$ で極大値 $\frac{1}{e^2}$

$x = -1$ で極小値 $0$