与えられた双曲線の方程式について、頂点、漸近線を求め、概形を描く。問題は以下の4つです。 (1) $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1$ (2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = -1$ (3) $25x^2 - 9y^2 = 225$ (4) $y^2 - x^2 = 4$

1. 問題の内容

与えられた双曲線の方程式について、頂点、漸近線を求め、概形を描く。問題は以下の4つです。

(1) $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1$

(2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = -1$

(3) $25x^2 - 9y^2 = 225$

(4) $y^2 - x^2 = 4$

2. 解き方の手順

双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ または $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ であり、これらに変形して考えます。

(1) $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{4} = 1$ の場合

$a^2 = 25$, $b^2 = 4$ より、$a = 5$, $b = 2$。

頂点は $(\pm a, 0)$ なので、頂点は $(\pm 5, 0)$。

漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$ なので、$y = \pm \frac{2}{5}x$。

概形は$x$軸方向に開いた双曲線。

(2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = -1$ の場合

$\frac{y^2}{8} - \frac{x^2}{4} = 1$ と変形する。

$a^2 = 8$, $b^2 = 4$ より、$a = 2\sqrt{2}$, $b = 2$。

頂点は $(0, \pm a)$ なので、頂点は $(0, \pm 2\sqrt{2})$。

漸近線は $y = \pm \frac{a}{b}x$ なので、$y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{2}x = \pm \sqrt{2}x$。

概形は$y$軸方向に開いた双曲線。

(3) $25x^2 - 9y^2 = 225$ の場合

両辺を225で割ると、$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$。

$a^2 = 9$, $b^2 = 25$ より、$a = 3$, $b = 5$。

頂点は $(\pm a, 0)$ なので、頂点は $(\pm 3, 0)$。

漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$ なので、$y = \pm \frac{5}{3}x$。

概形は$x$軸方向に開いた双曲線。

(4) $y^2 - x^2 = 4$ の場合

$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{4} = 1$ と変形する。

$a^2 = 4$, $b^2 = 4$ より、$a = 2$, $b = 2$。

頂点は $(0, \pm a)$ なので、頂点は $(0, \pm 2)$。

漸近線は $y = \pm \frac{a}{b}x$ なので、$y = \pm \frac{2}{2}x = \pm x$。

概形は$y$軸方向に開いた双曲線。

3. 最終的な答え

(1)

頂点: $(\pm 5, 0)$

漸近線: $y = \pm \frac{2}{5}x$

(2)

頂点: $(0, \pm 2\sqrt{2})$

漸近線: $y = \pm \sqrt{2}x$

(3)

頂点: $(\pm 3, 0)$

漸近線: $y = \pm \frac{5}{3}x$

(4)

頂点: $(0, \pm 2)$

漸近線: $y = \pm x$