楕円の方程式を求める問題です。ただし、楕円の中心は原点にあり、長軸はx軸上、短軸はy軸上にあるものとします。 (1) 長軸の長さが6、短軸の長さが4である楕円の方程式を求めます。 (2) 2点 $(2, \frac{2\sqrt{5}}{3})$ と $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ を通る楕円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

楕円の方程式を求める問題です。ただし、楕円の中心は原点にあり、長軸はx軸上、短軸はy軸上にあるものとします。

(1) 長軸の長さが6、短軸の長さが4である楕円の方程式を求めます。

(2) 2点 $(2, \frac{2\sqrt{5}}{3})$ と $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ を通る楕円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

楕円の標準形は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ です。

長軸の長さが6なので $2a = 6$ より $a = 3$ となります。

短軸の長さが4なので $2b = 4$ より $b = 2$ となります。

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ となります。

(2)

楕円の標準形は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ です。

2点 $(2, \frac{2\sqrt{5}}{3})$ と $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ を通るので、これらを方程式に代入します。

$(2, \frac{2\sqrt{5}}{3})$ を代入すると、 $\frac{2^2}{a^2} + \frac{(\frac{2\sqrt{5}}{3})^2}{b^2} = 1$ より、

$\frac{4}{a^2} + \frac{\frac{4 \times 5}{9}}{b^2} = 1$

$\frac{4}{a^2} + \frac{20}{9b^2} = 1$

$(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$ を代入すると、 $\frac{(-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$ より、

$\frac{\frac{9 \times 3}{4}}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$

$\frac{27}{4a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$

連立方程式

$\begin{cases}

\frac{4}{a^2} + \frac{20}{9b^2} = 1 \\

\frac{27}{4a^2} + \frac{1}{b^2} = 1

\end{cases}$

を解きます。

$X = \frac{1}{a^2}$, $Y = \frac{1}{b^2}$ とおくと、

$\begin{cases}

4X + \frac{20}{9}Y = 1 \\

\frac{27}{4}X + Y = 1

\end{cases}$

第2式より $Y = 1 - \frac{27}{4}X$

これを第1式に代入すると、

$4X + \frac{20}{9}(1 - \frac{27}{4}X) = 1$

$4X + \frac{20}{9} - \frac{20}{9} \times \frac{27}{4}X = 1$

$4X + \frac{20}{9} - 15X = 1$

$-11X = 1 - \frac{20}{9} = -\frac{11}{9}$

$X = \frac{1}{9}$

よって $a^2 = 9$

$Y = 1 - \frac{27}{4} \times \frac{1}{9} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

よって $b^2 = 4$

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$