与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題35aは以下の通りです。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ (3) $\frac{3}{3+\sqrt{3}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ 問題35bは以下の通りです。 (1) $\frac{6}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{3}{\sqrt{48}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{6}+2}$ (4) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題35aは以下の通りです。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$

(3) $\frac{3}{3+\sqrt{3}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$

問題35bは以下の通りです。

(1) $\frac{6}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{48}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{6}+2}$

(4) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母に適切な値をかけて、分母から根号を取り除く必要があります。

問題35a

(1) 分母に$\sqrt{3}$をかける:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) 分母に$\sqrt{5}$をかける:

$\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

(3) 分母に$3-\sqrt{3}$をかける:

$\frac{3}{3+\sqrt{3}} = \frac{3 \times (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3}) \times (3-\sqrt{3})} = \frac{9-3\sqrt{3}}{9-3} = \frac{9-3\sqrt{3}}{6} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(4) 分母に$\sqrt{5}+2$をかける:

$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2) \times (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2) \times (\sqrt{5}+2)} = \frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4} = \frac{9+4\sqrt{5}}{1} = 9+4\sqrt{5}$

問題35b

(1) 分母に$\sqrt{2}$をかける:

$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

(2) まず$\sqrt{48}$を簡単にする: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$. 次に分母に$\sqrt{3}$をかける:

$\frac{3}{\sqrt{48}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) 分母に$\sqrt{6}-2$をかける:

$\frac{2}{\sqrt{6}+2} = \frac{2 \times (\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2) \times (\sqrt{6}-2)} = \frac{2\sqrt{6}-4}{6-4} = \frac{2\sqrt{6}-4}{2} = \sqrt{6}-2$

(4) 分母に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$をかける:

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{7-2\sqrt{21}+3}{7-3} = \frac{10-2\sqrt{21}}{4} = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

問題35a

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

(3) $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(4) $9+4\sqrt{5}$

問題35b

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) $\sqrt{6}-2$

(4) $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$