与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、35aと35bのそれぞれ(1)から(4)までの合計8つの分数の分母を有理化する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、35aと35bのそれぞれ(1)から(4)までの合計8つの分数の分母を有理化する必要があります。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母と分子に適切な数を掛けます。

* 分母が $\sqrt{a}$ の形の場合：分母と分子に $\sqrt{a}$ を掛けます。

* 分母が $a + \sqrt{b}$ または $a - \sqrt{b}$ の形の場合：分母と分子にそれぞれ $a - \sqrt{b}$ または $a + \sqrt{b}$ を掛けます（共役な数を掛ける）。

以下、それぞれの問題の解き方を示します。

* 35a (1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

* 35a (2) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$

分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けると、

$\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

* 35a (3) $\frac{3}{3+\sqrt{3}}$

分母と分子に $3-\sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{3}{3+\sqrt{3}} = \frac{3 \times (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3}) \times (3-\sqrt{3})} = \frac{9-3\sqrt{3}}{9-3} = \frac{9-3\sqrt{3}}{6} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

* 35a (4) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$

分母と分子に $\sqrt{5}+2$ を掛けると、

$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2) \times (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2) \times (\sqrt{5}+2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5-4} = \frac{9+4\sqrt{5}}{1} = 9+4\sqrt{5}$

* 35b (1) $\frac{6}{\sqrt{2}}$

分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けると、

$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

* 35b (2) $\frac{3}{\sqrt{48}}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ なので、

$\frac{3}{\sqrt{48}} = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

* 35b (3) $\frac{2}{\sqrt{6}+2}$

分母と分子に $\sqrt{6}-2$ を掛けると、

$\frac{2}{\sqrt{6}+2} = \frac{2 \times (\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2) \times (\sqrt{6}-2)} = \frac{2\sqrt{6}-4}{6-4} = \frac{2\sqrt{6}-4}{2} = \sqrt{6}-2$

* 35b (4) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

分母と分子に $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{7-3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{2(5-\sqrt{21})}{4} = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

35a (1): $\frac{\sqrt{3}}{3}$

35a (2): $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

35a (3): $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

35a (4): $9+4\sqrt{5}$

35b (1): $3\sqrt{2}$

35b (2): $\frac{\sqrt{3}}{4}$

35b (3): $\sqrt{6}-2$

35b (4): $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$