問題は、複素数 $z$ に対して、$z\overline{z} = |z|^2$ が成り立つことの図形的な意味を問うています。

1. 問題の内容

問題は、複素数 $z$ に対して、$z\overline{z} = |z|^2$ が成り立つことの図形的な意味を問うています。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = a + bi$ と表します。ここで、$a$ と $b$ は実数であり、$i$ は虚数単位です。

複素共役 $\overline{z}$ は $\overline{z} = a - bi$ で与えられます。

$z$ と $\overline{z}$ の積を計算すると、

$$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$$

一方、$z$ の絶対値 $|z|$ は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義されます。したがって、

$$|z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2$$

ゆえに、$z\overline{z} = |z|^2$ が成り立ちます。

複素数 $z = a + bi$ は、複素平面上の点 $(a, b)$ に対応します。この点の原点からの距離は $\sqrt{a^2 + b^2}$ であり、これは $|z|$ に等しいです。

$|z|^2$ は、複素平面上の点 $(a, b)$ の原点からの距離の2乗を表します。

$z\overline{z} = |z|^2$ は、複素数とその共役複素数の積が、その複素数の絶対値の2乗に等しいことを表しています。

図形的には、これは複素平面上の点 $z$ の原点からの距離の2乗が、$z$ と $\overline{z}$ を掛け合わせることで得られることを意味します。

3. 最終的な答え

$z\overline{z} = |z|^2$ は、複素数 $z$ とその共役複素数 $\overline{z}$ の積が、$z$ の絶対値（原点からの距離）の2乗に等しいことを意味します。図形的には、複素平面上の点 $z$ の原点からの距離の2乗が、$z\overline{z}$ で計算できることを示しています。