次の関数の最大値、最小値を求めよ。 (1) $y = x\sqrt{4-x^2} \quad (-1 \le x \le 2)$ (2) $y = x + \sqrt{4-x^2}$

1. 問題の内容

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

(1) $y = x\sqrt{4-x^2} \quad (-1 \le x \le 2)$

(2) $y = x + \sqrt{4-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x\sqrt{4-x^2} \quad (-1 \le x \le 2)$

まず、$y$ を微分します。

$y' = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = 0$ より、 $4-2x^2 = 0$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

定義域 $-1 \le x \le 2$ において、$x = \sqrt{2}$ のみが該当します。

次に、$x = -1, \sqrt{2}, 2$ での $y$ の値を求めます。

$x = -1$ のとき、$y = -1\sqrt{4-(-1)^2} = -\sqrt{3}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2}\sqrt{4-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}\sqrt{2} = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 2\sqrt{4-2^2} = 0$

したがって、最大値は $2$ ($x = \sqrt{2}$)、最小値は $-\sqrt{3}$ ($x = -1$)。

(2) $y = x + \sqrt{4-x^2}$

定義域は $4-x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 4$。すなわち、$-2 \le x \le 2$。

$y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{\sqrt{4-x^2} - x}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{\sqrt{4-x^2} - x}{\sqrt{4-x^2}} = 0$ より、 $\sqrt{4-x^2} - x = 0$

$\sqrt{4-x^2} = x$

$4-x^2 = x^2$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$\sqrt{4-x^2}=x$より、$x \ge 0$である必要があるため、$x=\sqrt{2}$ のみが該当します。

次に、$x = -2, \sqrt{2}, 2$ での $y$ の値を求めます。

$x = -2$ のとき、$y = -2 + \sqrt{4-(-2)^2} = -2$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2} + \sqrt{4-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$x = 2$ のとき、$y = 2 + \sqrt{4-2^2} = 2$

したがって、最大値は $2\sqrt{2}$ ($x = \sqrt{2}$)、最小値は $-2$ ($x = -2$)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($x = \sqrt{2}$), 最小値: $-\sqrt{3}$ ($x = -1$)

(2) 最大値: $2\sqrt{2}$ ($x = \sqrt{2}$), 最小値: $-2$ ($x = -2$)