曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 + ax^3 + 3ax^2 + 1$ が変曲点を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で2回微分して、2階導関数 $y''$ を求めます。

$y' = 4x^3 + 3ax^2 + 6ax$

$y'' = 12x^2 + 6ax + 6a$

変曲点を持つためには、$y'' = 0$ となる $x$ が存在し、その前後で $y''$ の符号が変わる必要があります。

$y'' = 0$ を満たす $x$ が存在するためには、$y'' = 12x^2 + 6ax + 6a = 0$ の判別式 $D$ が $D > 0$ である必要があります。（異なる2つの実数解を持つ必要があります）

判別式 $D$ は、

$D = (6a)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 6a = 36a^2 - 288a = 36a(a - 8)$

$D > 0$ となるためには、$36a(a - 8) > 0$ が必要です。

$a(a - 8) > 0$ を解くと、$a < 0$ または $a > 8$

次に、$y''$ の符号が $y'' = 0$ となる $x$ の前後で変わるかを確認します。

$y'' = 12x^2 + 6ax + 6a = 6(2x^2 + ax + a)$

$y'' = 0$ となる $x$ の値を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ とすると、

$2x^2 + ax + a = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{a}{2}$

$\alpha \beta = \frac{a}{2}$

$y'' = 12(x - \alpha)(x - \beta)$ となるため、$\alpha$ と $\beta$ の前後で $y''$ の符号が変わります。

したがって、$a < 0$ または $a > 8$ が求める範囲となります。

3. 最終的な答え

$a < 0$ または $a > 8$