関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ について、$y=f(x)$ のグラフの概形を書き、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ について、$y=f(x)$ のグラフの概形を書き、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} = 0$ より、$1-x^2=0$ なので、$x = \pm 1$ です。

次に、$f'(x)$ の符号の変化を調べます。

* $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$

* $-1 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

* $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$

よって、$x = -1$ で極小、$x = 1$ で極大となります。

極小値は、$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$ です。

極大値は、$f(1) = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$ です。

また、$\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$ であることと、$f(0)=0$であること、さらに奇関数であることなどを考慮してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は省略します。

最大値：$\frac{1}{2}$ （$x=1$のとき）

最小値：$-\frac{1}{2}$ （$x=-1$のとき）