$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化してください。

はい、承知いたしました。以下の問題について、それぞれ解説と解答を記述します。

**問題56 (1)**

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6 - 3}$

$= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

**問題56 (2)**

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5}$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

**問題56 (3)**

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $\sqrt{11} - \sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{\sqrt{11} - \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{11 - 5}$

$= \frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{5}}{6}$

**問題57 (1)**

1. 問題の内容

$\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $\sqrt{10} + \sqrt{2}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$

$= \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2}$

$= \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}$

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

**問題57 (2)**

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数である $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

$= \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{5 - 2}$

$= \frac{5 - 2\sqrt{10} + 2}{3}$

$= \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$