円 $x^2 + y^2 = 3^2$ を、x軸を基準としてy軸方向に(1) $\frac{2}{3}$倍、(2) $\frac{4}{3}$倍に拡大または縮小して得られる楕円の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3^2$ を、x軸を基準としてy軸方向に(1) $\frac{2}{3}$倍、(2) $\frac{4}{3}$倍に拡大または縮小して得られる楕円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 9$ をy軸方向に$\frac{2}{3}$倍にする。このとき、楕円上の点 $(x,y)$ は $(x,\frac{2}{3}y)$ に変換される。すなわち、$y' = \frac{2}{3}y$。これより、$y = \frac{3}{2}y'$となる。これを元の円の方程式に代入すると、

$x^2 + (\frac{3}{2}y')^2 = 9$

$x^2 + \frac{9}{4}y'^2 = 9$

$x^2 + \frac{9}{4}y^2 = 9$

両辺を9で割ると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 9$ をy軸方向に$\frac{4}{3}$倍にする。このとき、楕円上の点 $(x,y)$ は $(x,\frac{4}{3}y)$ に変換される。すなわち、$y' = \frac{4}{3}y$。これより、$y = \frac{3}{4}y'$となる。これを元の円の方程式に代入すると、

$x^2 + (\frac{3}{4}y')^2 = 9$

$x^2 + \frac{9}{16}y'^2 = 9$

$x^2 + \frac{9}{16}y^2 = 9$

両辺を9で割ると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$