座標平面上に長さが7の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。線分ABを3:4に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上に長さが7の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。線分ABを3:4に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Aの座標を$(a, 0)$、点Bの座標を$(0, b)$とします。

線分ABの長さが7であることから、以下の関係式が成り立ちます。

$a^2 + b^2 = 7^2 = 49$

点Pの座標を$(x, y)$とすると、Pは線分ABを3:4に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{4a + 3 \cdot 0}{3+4} = \frac{4a}{7}$

$y = \frac{4 \cdot 0 + 3b}{3+4} = \frac{3b}{7}$

これらの式から、$a$と$b$を$x$と$y$で表すと、

$a = \frac{7x}{4}$

$b = \frac{7y}{3}$

$a$と$b$の関係式 $a^2 + b^2 = 49$ に代入すると、

$(\frac{7x}{4})^2 + (\frac{7y}{3})^2 = 49$

$\frac{49x^2}{16} + \frac{49y^2}{9} = 49$

両辺を49で割ると、

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ です。