与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を定める問題です。4つの問題があります。 (1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$ (2) $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ (3) $a(x+2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) = x^2$ (4) $a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d = 3x^3 - 2x - 1$

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を定める問題です。4つの問題があります。

(1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$

(2) $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

(3) $a(x+2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) = x^2$

(4) $a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d = 3x^3 - 2x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $a(x+2) - b(x-2) = 4x$

左辺を展開して整理します。

$ax + 2a - bx + 2b = 4x$

$(a-b)x + (2a+2b) = 4x$

恒等式であるためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、

$a - b = 4$

$2a + 2b = 0$

これより、 $a+b = 0$

この2つの式を連立して解くと、

$a-b=4$

$a+b=0$

$2a = 4$ よって $a=2$

$b = -a = -2$

よって、$a=2, b=-2$

(2) $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

右辺を展開して整理します。

$2x^2 - 7x - 1 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c$

$2x^2 - 7x - 1 = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$2x^2 - 7x - 1 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

各項の係数が等しくなければなりません。したがって、

$a = 2$

$-2a + b = -7$

$a - b + c = -1$

$a=2$を2つ目の式に代入すると

$-2(2) + b = -7$

$-4 + b = -7$

$b = -3$

$a=2, b=-3$を3つ目の式に代入すると

$2 - (-3) + c = -1$

$2 + 3 + c = -1$

$5 + c = -1$

$c = -6$

よって、$a=2, b=-3, c=-6$

(3) $a(x+2)^2 + b(x+3)^2 + c(x+2)(x+3) = x^2$

左辺を展開して整理します。

$a(x^2 + 4x + 4) + b(x^2 + 6x + 9) + c(x^2 + 5x + 6) = x^2$

$ax^2 + 4ax + 4a + bx^2 + 6bx + 9b + cx^2 + 5cx + 6c = x^2$

$(a+b+c)x^2 + (4a+6b+5c)x + (4a+9b+6c) = x^2$

各項の係数が等しくなければなりません。したがって、

$a+b+c = 1$

$4a+6b+5c = 0$

$4a+9b+6c = 0$

3つ目の式から2つ目の式を引くと、

$(4a+9b+6c) - (4a+6b+5c) = 0 - 0$

$3b + c = 0$

$c = -3b$

これを1つ目の式に代入すると、

$a+b-3b = 1$

$a-2b = 1$

$a = 1+2b$

これを2つ目の式に代入すると、

$4(1+2b) + 6b + 5(-3b) = 0$

$4 + 8b + 6b - 15b = 0$

$4 - b = 0$

$b = 4$

$a = 1+2(4) = 9$

$c = -3(4) = -12$

よって、$a=9, b=4, c=-12$

(4) $a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d = 3x^3 - 2x - 1$

左辺を展開して整理します。

$a(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + b(x^2 + 2x + 1) + c(x+1) + d = 3x^3 - 2x - 1$

$ax^3 + 3ax^2 + 3ax + a + bx^2 + 2bx + b + cx + c + d = 3x^3 - 2x - 1$

$ax^3 + (3a+b)x^2 + (3a+2b+c)x + (a+b+c+d) = 3x^3 - 2x - 1$

各項の係数が等しくなければなりません。したがって、

$a = 3$

$3a+b = 0$

$3a+2b+c = -2$

$a+b+c+d = -1$

$a=3$を2つ目の式に代入すると、

$3(3) + b = 0$

$9 + b = 0$

$b = -9$

$a=3, b=-9$を3つ目の式に代入すると、

$3(3) + 2(-9) + c = -2$

$9 - 18 + c = -2$

$-9 + c = -2$

$c = 7$

$a=3, b=-9, c=7$を4つ目の式に代入すると、

$3 - 9 + 7 + d = -1$

$1 + d = -1$

$d = -2$

よって、$a=3, b=-9, c=7, d=-2$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, b=-2$

(2) $a=2, b=-3, c=-6$

(3) $a=9, b=4, c=-12$

(4) $a=3, b=-9, c=7, d=-2$