3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{6}}{x - 2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 - x + 5}{3x^2 + 4}$

1. 問題の内容

3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{6}}{x - 2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 - x + 5}{3x^2 + 4}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

分子を因数分解します。$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

したがって、$\frac{x^3 - 27}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = x^2 + 3x + 9$

$x \to 3$ のとき、$x^2 + 3x + 9 \to 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{6}}{x - 2}$

分子を有理化します。$\frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{6}}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x+4} - \sqrt{6})(\sqrt{x+4} + \sqrt{6})}{(x - 2)(\sqrt{x+4} + \sqrt{6})} = \frac{(x+4) - 6}{(x - 2)(\sqrt{x+4} + \sqrt{6})} = \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+4} + \sqrt{6})} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + \sqrt{6}}$

$x \to 2$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{x+4} + \sqrt{6}} \to \frac{1}{\sqrt{2+4} + \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 - x + 5}{3x^2 + 4}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\frac{7x^2 - x + 5}{3x^2 + 4} = \frac{7 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ と $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\frac{7 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^2}} \to \frac{7 - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 27

(2) $\frac{\sqrt{6}}{12}$

(3) $\frac{7}{3}$