以下の6つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+7x)}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+\sin 5x}{x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{\sin x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1-\cos x}$

1. 問題の内容

以下の6つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+7x)}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+\sin 5x}{x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{\sin x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1-\cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ を計算します。

これは $1^{\infty}$ の不定形です。

$y = (1+3x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log(1+3x)$ となります。

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} = 3$

よって $\lim_{x \to 0} \log y = 3$ となり、$\lim_{x \to 0} y = e^3$ となります。

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$ を計算します。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2$

または、$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

$\lim_{u\to 0}\frac{e^u-1}{u} = 1$ を利用

(3)

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+7x)}{x}$ を計算します。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{1+7x}}{1} = 7$

または、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+7x)}{7x} \cdot 7 = 1 \cdot 7 = 7$

$\lim_{u\to 0}\frac{\log(1+u)}{u} = 1$ を利用

(4)

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x+\sin 5x}{x}$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} x + 3 + \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 0 + 3 + 1 \cdot 5 = 8$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用

(5)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{\sin x}$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ と $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用

(6)

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1-\cos x}$ を計算します。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を使うと

$\lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} = 6$

または、$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{2\sin^2(x/2)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{2(x/2)^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{\sin^2(x/2)} = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 6$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$ を利用

3. 最終的な答え

(1) $e^3$

(2) $2$

(3) $7$

(4) $8$

(5) $1$

(6) $6$