与えられた極限の値を求めます。問題は $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t \to 0} \left( (1+t)^{\frac{1}{t}} \right)^3 = ?$ です。

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求めます。問題は

$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t \to 0} \left( (1+t)^{\frac{1}{t}} \right)^3 = ?$

です。

2. 解き方の手順

まず、$3x = t$ と置換すると、$x = \frac{t}{3}$ となります。$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}}$

となります。

次に、指数関数の極限の公式

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

を利用します。

$\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t \to 0} \left( (1+t)^{\frac{1}{t}} \right)^3$

ここで、$\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \left( (1+t)^{\frac{1}{t}} \right)^3 = e^3$

3. 最終的な答え

$e^3$