与えられた極限の式を評価する問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/2} = 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = ? $$ ここで、$t = 2x$ と置いています。

1. 問題の内容

与えられた極限の式を評価する問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/2} = 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = ?

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ここで、$t = 2x$ と置いています。

2. 解き方の手順

まず、$t=2x$ と置換することで、最初の極限を$t$に関する極限に書き換えます。$x \to 0$ のとき、$t=2x \to 0$ なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/2}

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となります。

次に、分母の$1/2$を外に出すと、

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\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/2} = 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t}

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となります。

ここで、基本的な極限の公式 $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ を用いると、

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2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 2 \cdot 1 = 2

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となります。

3. 最終的な答え

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