問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ の値を求めるものです。与えられた式変形に従って計算し、最終的な値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ の値を求めるものです。与えられた式変形に従って計算し、最終的な値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2x$ と置換します。すると、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{\frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{2(e^t - 1)}{t} = 2\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ であることはよく知られています。これは、$e^t$ の $t=0$ における微分係数の定義そのものです。$e^t$ の微分は $e^t$ であり、$t=0$ における値は $e^0 = 1$ だからです。

したがって、

$2 \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

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