(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x + \sin 5x}{x}$ を計算し、その途中の式 $\lim_{x \to 0} x + \lim_{x \to 0} 3 + 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}$ を計算すること。 (5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ を計算し、その途中の式 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$ を計算すること。

1. 問題の内容

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x + \sin 5x}{x}$ を計算し、その途中の式 $\lim_{x \to 0} x + \lim_{x \to 0} 3 + 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}$ を計算すること。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ を計算し、その途中の式 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$ を計算すること。

2. 解き方の手順

(4) まず、与えられた極限を次のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x + \sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 3 + \frac{\sin 5x}{x})$

ここで、$\lim_{x \to 0} x = 0$, $\lim_{x \to 0} 3 = 3$, そして $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$ を使います。

したがって、

$\lim_{x \to 0} (x + 3 + \frac{\sin 5x}{x}) = \lim_{x \to 0} x + \lim_{x \to 0} 3 + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 0 + 3 + 5 = 8$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x + \sin 5x}{x} = 8$。 また、与えられた式 $\lim_{x \to 0} x + \lim_{x \to 0} 3 + 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 0 + 3 + 5(1) = 8$。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ を計算するために、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ そして $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使います。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1$。

3. 最終的な答え

(4) 8

(5) 1