直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から、切削して作ることができる最大の立方体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から、切削して作ることができる最大の立方体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

立方体の一辺の長さを $x$ とします。

まず、円柱の断面（円）に内接する正方形の一辺の長さを考えます。円の直径が6cmなので半径は3cmです。

正方形の対角線は円の直径に等しいので6cmです。

正方形の一辺の長さを $x$ とすると、三平方の定理より

$x^2 + x^2 = 6^2$

$2x^2 = 36$

$x^2 = 18$

$x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$3\sqrt{2} \approx 4.24$

円柱の長さは8cmなので、立方体の高さは$3\sqrt{2}$と8cmのうち小さい方の値になります。今回は $3\sqrt{2}$cmが小さいので立方体の一辺の長さは$3\sqrt{2}$cmとなります。

したがって、立方体の体積は、

$(3\sqrt{2})^3 = (3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(3\sqrt{2}) = 27 \times 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$

ここで、$3\sqrt{2}$という立方体の一辺が、円柱の直径である6cmよりも小さく、円柱の長さである8cmよりも小さいため、問題の条件を満たしていることがわかります。

立方体の体積は、

$(3\sqrt{2})^3 = 54\sqrt{2}$

$54\sqrt{2} \approx 54 \times 1.414 = 76.356$

一辺が $3\sqrt{2}$ の立方体ではなく、円柱に内接することを考えると、立方体の一辺の最大値は、円柱の直径6cmとなります。

したがって、立方体の一辺が6cmよりも大きくなることはないので、この正方形を底面とする立方体を作ることはできません。

立方体の一辺は $3\sqrt{2}$cm が最大となります。

しかし、円柱の長さを考慮する必要があります。長さが8cmであるため、立方体の一辺の長さは8cmを超えることはできません。よって、一辺の長さは $3\sqrt{2}$cmです。

立方体の体積 = $(3\sqrt{2})^3 = 27 * 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2} \approx 54 * 1.414 = 76.356$

立方体の一辺は、円柱の直径6cmと長さに制限されます。

円柱に内接する立方体の断面（正方形）の一辺の長さを $x$ とすると、$x = 3\sqrt{2}$です。

立方体の体積 = $(3\sqrt{2})^3 = 54\sqrt{2} \approx 76.36$

3. 最終的な答え

$54\sqrt{2} \ cm^3$

または約76.36 $cm^3$