直径が6cm、長さが8cmの鉄の円柱から切り出して作ることのできる最大の立方体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直径が6cm、長さが8cmの鉄の円柱から切り出して作ることのできる最大の立方体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

円柱から立方体を切り出すことを考えます。

立方体の一辺の長さを $x$ とします。

円柱の直径が6cmなので、立方体の一辺の長さの最大値は6cmを超えられません。

また、立方体を切り出すことを考えると、立方体の対角線が円柱の直径以下である必要があります。

このとき、立方体の対角線の長さは $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$ となります。

$x\sqrt{2} \leq 6$ より、$x \leq \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ となります。

$3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$ cmとなります。

また、円柱の長さが8cmなので、立方体の高さは8cm以下である必要があります。

したがって、$x \leq 8$ cmとなります。

円柱から立方体を切り出す場合、立方体の全ての辺の長さが円柱の制約を満たす必要があります。

立方体の一辺の長さは、円柱の直径と長さによって制限を受けます。

直径6cmより、$x \leq 6$

長さ8cmより、$x \leq 8$

円柱の直径より、立方体の対角線長が6cmを超えないので、$x\sqrt{2} \leq 6$を満たす必要があります。

$x \leq \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$3\sqrt{2} \approx 4.24$

$x$ の最大値は $3\sqrt{2}$ となります。

したがって、最大の立方体の一辺の長さは $3\sqrt{2}$ cmとなります。

立方体の体積は、$x^3$ なので、

$(3\sqrt{2})^3 = 3^3 (\sqrt{2})^3 = 27 \times 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$54\sqrt{2} \ cm^3$