問題502は、曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた部分の面積を、曲線 $y = a \cos x$ が2等分するように、定数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

問題502は、曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた部分の面積を、曲線 $y = a \cos x$ が2等分するように、定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。これは、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$ を計算することで求められます。

(2) 面積 $S$ の半分を $S/2$ とします。

(3) 曲線 $y = \sin x$ と $y = a \cos x$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とします。このとき、$\sin \alpha = a \cos \alpha$ が成り立ちます。したがって、$\tan \alpha = a$ となります。

(4) $\int_0^{\alpha} (\sin x - a \cos x) \, dx = \frac{S}{2}$ となるように、$a$ の値を定めます。

(5) (4) の積分を実行し、$a$ についての方程式を解きます。$\alpha$ を求める代わりに、$\tan \alpha = a$ を利用します。

積分計算：

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

したがって、$S/2 = 1/2$ となります。

$\int_0^{\alpha} (\sin x - a \cos x) \, dx = [-\cos x - a \sin x]_0^{\alpha} = (-\cos \alpha - a \sin \alpha) - (-\cos 0 - a \sin 0) = -\cos \alpha - a \sin \alpha + 1$

これが $1/2$ に等しいので、

$-\cos \alpha - a \sin \alpha + 1 = \frac{1}{2}$

$\cos \alpha + a \sin \alpha = \frac{1}{2}$

$\tan \alpha = a$ より $\sin \alpha = a \cos \alpha$ なので、

$\cos \alpha + a(a \cos \alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos \alpha (1 + a^2) = \frac{1}{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2(1 + a^2)}$

$\sin \alpha = a \cos \alpha = \frac{a}{2(1 + a^2)}$

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$(\frac{a}{2(1 + a^2)})^2 + (\frac{1}{2(1 + a^2)})^2 = 1$

$\frac{a^2}{4(1 + a^2)^2} + \frac{1}{4(1 + a^2)^2} = 1$

$a^2 + 1 = 4(1 + a^2)^2$

$a^2 + 1 = 4(1 + 2a^2 + a^4)$

$a^2 + 1 = 4 + 8a^2 + 4a^4$

$4a^4 + 7a^2 + 3 = 0$

$(4a^2 + 3)(a^2 + 1) = 0$

$a^2 = -\frac{3}{4}$ または $a^2 = -1$ となりますが、$a$ は実数なので、$a$ は虚数となります。

ここで別の考え方をする。

$\int_0^{\pi/2} acos(x)dx = 1/2$

$a[sin(x)]_0^{\pi/2} = 1/2$

$a(1-0) = 1/2$

$a = 1/2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$