与えられた式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理し、因数分解しやすい形にすることを試みます。

$x$ について整理すると、

$x^2 + (y-z)x - 2y^2 + yz$

ここで、$-2y^2+yz = y(-2y+z)$ となることに注意します。

因数分解した形を $(x+ay)(x+by+c)$ と仮定すると、

$x^2 + (a+b)xy + by^2 + cx + acy = x^2 + (y-z)x -2y^2 + yz$

係数を比較すると、

$a+b = 1$

$by^2 = -2y^2 \implies b = -2$

$c = -z$

$acy = yz \implies a = -1$

係数を比較すると、

$b=-2, a=-1, a+b=-3$ なので、$a+b = 1$ が満たされません。

$x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx = x^2 + xy - zx - 2y^2 + yz$

$= x(x+y-z) - (2y^2 - yz)$

$= x(x+y-z) - y(2y-z)$

式を以下のように変形してみます。

$x^2 + xy - zx -2y^2 +yz = x^2 - y^2 - y^2 + xy - zx + yz$

$= (x-y)(x+y) - y(y-x) - z(x-y)$

$= (x-y)(x+y) +y(x-y) - z(x-y)$

$= (x-y)(x+y+y-z)$

$= (x-y)(x+2y-z)$

3. 最終的な答え

$(x-y)(x+2y-z)$