以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} (x^2 + 4x - 2)$ (2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x}{x - 1}$ (3) $\lim_{x \to 0} \sqrt{2x + 3}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}$ (5) $\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 1)$

1. 問題の内容

以下の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} (x^2 + 4x - 2)$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x}{x - 1}$

(3) $\lim_{x \to 0} \sqrt{2x + 3}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}$

(5) $\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 1)$

2. 解き方の手順

(1) $x$が2に近づくときの$x^2 + 4x - 2$の極限を求めます。これは多項式なので、$x = 2$を代入して計算します。

$2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$

(2) $x$が3に近づくときの$\frac{x^2 - 4x}{x - 1}$の極限を求めます。これは有理関数なので、$x = 3$を代入して計算します。

$\frac{3^2 - 4(3)}{3 - 1} = \frac{9 - 12}{2} = \frac{-3}{2}$

(3) $x$が0に近づくときの$\sqrt{2x + 3}$の極限を求めます。これは根号を含む関数なので、$x = 0$を代入して計算します。

$\sqrt{2(0) + 3} = \sqrt{3}$

(4) $x$が正の無限大に近づくときの$\frac{1}{x + 1}$の極限を求めます。$x$が大きくなるにつれて、分母$x + 1$も大きくなるので、分数全体は0に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} = 0$

(5) $x$が負の無限大に近づくときの$x^3 + 1$の極限を求めます。$x$が負の方向に大きくなるにつれて、$x^3$は負の方向に大きくなり、$x^3 + 1$も負の方向に大きくなります。

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 1) = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) -3/2

(3) $\sqrt{3}$

(4) 0

(5) $-\infty$