与えられた5つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4}$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 4}{3x^2 + 5}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5}{x + 1}$ (5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$

はい、承知いたしました。画像に示された練習問題の極限を求めます。

1. 問題の内容

与えられた5つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 4}{3x^2 + 5}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5}{x + 1}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4}$

分子と分母を因数分解します。

$2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 1}{x + 2}$

$x = 2$ を代入すると、

$\frac{2(2) - 1}{2 + 2} = \frac{3}{4}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{(x+2) - 4}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2}$

$x = 2$ を代入すると、

$\frac{1}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 4}{3x^2 + 5}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{5}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, $\frac{5}{x^2} \to 0$ なので、

$\frac{2 - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5}{x + 1}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1} = \infty$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$

$\sqrt{4x^2 + x} - 2x = (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) \cdot \frac{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\frac{1}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{4}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{2}{3}$

(4) $\infty$

(5) $\frac{1}{4}$