与えられた不等式 $ (4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \ge 49 $ を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \ge 49$ を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) = 4x^2 + 36 + 1 + \frac{9}{x^2} = 4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37$$

したがって、証明すべき不等式は

$$4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37 \ge 49$$

となります。

両辺から37を引くと

$$4x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 12$$

となります。ここで、$4x^2$ と $\frac{9}{x^2}$ は正なので、相加平均・相乗平均の関係を用いることができます。

$$4x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 2\sqrt{4x^2 \cdot \frac{9}{x^2}} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$$

したがって、$4x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 12$ が成り立つことが証明できました。

等号が成立するのは、$4x^2 = \frac{9}{x^2}$ のときです。

$$4x^4 = 9$$

$$x^4 = \frac{9}{4}$$

$$x^2 = \frac{3}{2}$$

$x > 0$ より

$$x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

3. 最終的な答え

不等式 $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \ge 49$ は、$x > 0$ の範囲で成立する。

等号成立条件は $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。