与えられた対数の式を簡単にする問題です。具体的には以下の5つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_6 4 + \log_6 9$ (2) $\log_{10} 25 + \log_{10} 4$ (3) $\log_3 18 - \log_3 2$ (4) $\log_2 2\sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3}$ (5) $2\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2} \log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にする問題です。具体的には以下の5つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_6 4 + \log_6 9$

(2) $\log_{10} 25 + \log_{10} 4$

(3) $\log_3 18 - \log_3 2$

(4) $\log_2 2\sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3}$

(5) $2\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2} \log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、各々の式を簡単にします。

* $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

* $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

* $c \log_a x = \log_a (x^c)$

* $\log_a a = 1$

(1) $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \times 9) = \log_6 36 = \log_6 (6^2) = 2$

(2) $\log_{10} 25 + \log_{10} 4 = \log_{10} (25 \times 4) = \log_{10} 100 = \log_{10} (10^2) = 2$

(3) $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 (\frac{18}{2}) = \log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$

(4) $\log_2 2\sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3} = \log_2 (\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}) = \log_2 (2\sqrt{\frac{6}{3}}) = \log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 (2 \times 2^{\frac{1}{2}}) = \log_2 (2^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$

(5) $2\log_2 \sqrt{2} - \frac{1}{2} \log_2 3 + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 (\sqrt{2})^2 - \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 2 - \log_2 \sqrt{3} + \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 2 + \log_2 (\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}) = \log_2 2 + \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 (2 \times \frac{1}{2}) = \log_2 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 2

(4) $\frac{3}{2}$

(5) 0