底の変換公式を用いて、以下の式を簡単にせよ。 (1) $\log_4 32$ (2) $\log_2 5 \cdot \log_5 8$ (3) $\log_3 5 \cdot \log_5 27$

1. 問題の内容

底の変換公式を用いて、以下の式を簡単にせよ。

(1) $\log_4 32$

(2) $\log_2 5 \cdot \log_5 8$

(3) $\log_3 5 \cdot \log_5 27$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 32$ の場合

底を2に変換します。底の変換公式は $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

$\log_4 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 4}$

$32 = 2^5$ なので、$\log_2 32 = 5$です。

$4 = 2^2$ なので、$\log_2 4 = 2$です。

$\log_4 32 = \frac{5}{2}$

(2) $\log_2 5 \cdot \log_5 8$ の場合

底の変換公式を用いて、底を2に変換します。

$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 5 \cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 5}$

$\log_2 5$ が約分できるので、

$\log_2 5 \cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 5} = \log_2 8$

$8 = 2^3$ なので、$\log_2 8 = 3$です。

(3) $\log_3 5 \cdot \log_5 27$ の場合

底の変換公式を用いて、底を3に変換します。

$\log_3 5 \cdot \log_5 27 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 5}$

$\log_3 5$ が約分できるので、

$\log_3 5 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 5} = \log_3 27$

$27 = 3^3$ なので、$\log_3 27 = 3$です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $3$

(3) $3$