$A$ を $n$ 次正方行列とする。以下の命題の真偽を判定する。 1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

1. 問題の内容

$A$ を $n$ 次正方行列とする。以下の命題の真偽を判定する。

1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ である。

問題 4.2 は、問題 4.1 で「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討する。

2. 解き方の手順

問題 4.1

1. $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ である場合、$A$ の行列式は $0$ となる。なぜなら、行列式は行に関する線形性を持つため、ある行がすべて $0$ ならば、行列式も $0$ になるからである。行列式が $0$ の行列は正則ではないので、命題 1 は真である。

2. $A$ が正則でない場合、$A$ の行列式は $0$ である。しかし、行列式が $0$ であっても、必ずしも $A$ のある行が $(0\ 0\ \cdots\ 0)$ であるとは限らない。例えば、行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 \\

1 & 1

\end{pmatrix}

$$

は正則ではない（行列式は $1 \times 1 - 1 \times 1 = 0$）が、すべての行に $0$ でない要素が含まれている。したがって、命題 2 は偽である。

問題 4.2

問題 4.1 で「行」を「列」に置き換えた場合を考える。

1. $A$ のある列が $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ であるならば、$A$ は正則ではない。

$A$ のある列が $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ である場合、$A$ の行列式は $0$ となる。なぜなら、行列式は列に関する線形性を持つため、ある列がすべて $0$ ならば、行列式も $0$ になるからである。行列式が $0$ の行列は正則ではないので、命題 1 は真である。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある列は $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ である。

$A$ が正則でない場合、$A$ の行列式は $0$ である。しかし、行列式が $0$ であっても、必ずしも $A$ のある列が $(0\ 0\ \cdots\ 0)^T$ であるとは限らない。例えば、行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 \\

1 & 1

\end{pmatrix}

$$

は正則ではない（行列式は $1 \times 1 - 1 \times 1 = 0$）が、すべての列に $0$ でない要素が含まれている。したがって、命題 2 は偽である。

3. 最終的な答え

問題 4.1

1. 真

2. 偽

問題 4.2

1. 真

2. 偽